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En este articulo no quiero profundizar en explicaciones técnicas, quiero dar una base para que en caso de interés se pueda recurrir a informacion mas especializada.

El objetivo es dar una visión general, para que todas las personas puedan entender que números hay detrás de los datos vemos en las noticias

epidemia

 

Historia

historia

 

La Epidemiologia matemática es la parte de la ciencia que estudia desde un punto de vista matemático las epidemias.

  • Nace en 1760 con el estudio de la viruela, pero es a comienzos del siglo XX cuando se desarrolla como ciencia.
  • En 1906, con el estudio del sarampión, se define el principio de acción de masas: la tasa de propagación de la epidemia se supone proporcional al producto de individuos susceptibles por la densidad de individuos infecciosos
  • En el primer cuarto del siglo XX, surgen los primeros estudios compartimental con ecuaciones diferenciales. Se define el teorema Umbral que permite determinar cuando la enfermedad se convierte en epidemia.
  • A partir de aquí, surgen los modelos estocásticos basados en modelos celulares. Modelos matemáticos específicos para una enfermedad determinada usando un modelo especifico.

Tipos de modelos matemáticos

 

modelo
  • Modelos deterministas/estocásticos: Los modelos deterministas son aquellos cuyos parámetros y variables no son de naturaleza aleatoria, al contrario de lo que ocurre con los modelos estocásticos.
  • Modelos continuos / discretos: Los modelos continuos son aquellos en los que las variables pueden tomar un número infinito de valores dentro de un rango determinado; en los modelos discretos algunas o todas las variables toman un número finito de valores.
  • Modelos globales / individuales: Los modelos globales estudian la dinámica del sistema proporcionando la evolución global del mismo sin tener en cuenta las interacciones locales de los elementos que lo forman; por el contrario, los modelos individuales consideran dichas interacciones.

El modelo compartimental

compartimental

 

La población se divide en diferentes tipos o compartimentos teniendo en cuenta las características de la enfermedad:

Susceptibles (S): Individuos sanos y que pueden contraer la enfermedadExpuestos

  • (E): Individuos infectados (con o sin síntomas) pero que no pueden contagiar la enfermedad (con o sin síntomas)Infectados
  • (I). Individuos infectados y que puede contagiar a otrosRecuperado
  • (R): Individuos resistentes a la enfermedad, normalmente la han superado o han sido vacunadosPortadores
  • (M). Individuos que portan la enfermedad, pero puede que no la padezcan nunca.

Como consecuencia se puede realizar una clasificación de los modelos matemáticos atendiendo a la dinámica que rige sus compartimentos en modelos

  • SI (Susceptible-Infectado)
  • SIS (Susceptible-Infectado-Susceptible)
  • SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado)
  • SEIR (Susceptible-Expuesto-Infectado-Resistente)
  • Y variaciones de los anteriores: SIRS, SEIRS,..

Numero reproductivo básico R0

El número reproductivo básico, R0, es el número medio de infecciones generadas por un único individuo infectado, durante el período infeccioso de dicho individuo, introducido en una población totalmente susceptible.

Indicando cuántas personas son contagiadas en total por una persona infectada.

 

R0

Para entenderlo correctamente, es necesario definir una serie de parámetros.

  • Tasa de infección o de contagio, a. Es el número medio de individuos contagiados por otro individuo ya infectado, por unidad de tiempo, en una población totalmente susceptible. Depende de la infectividad del virus, del número medio de contactos interpersonales y de las medidas higiénicas en una determinada población.
  • Tasa efectiva de infección. Es la tasa de infección multiplicada por la proporción de individuos susceptibles respecto a la población total: aS/N. Da cuenta de que la probabilidad de contagio se reduce a medida que quedan menos individuos susceptibles en el entorno.
  • Periodo infeccioso, τ. Es el tiempo medio durante el cual un infectado puede contagiar a otros. Tras este periodo, el infeccioso deja de ser activo porque queda en cuarentena, se ha curado o ha fallecido. Si este periodo es muy largo la epidemia crecerá más fuerte, porque una misma persona seguirá transmitiendo la infección durante más tiempo.
  • Tasa de retirada, b. Es la inversa del periodo infeccioso: b = 1/τ.

 

Ahora, ya es posible dar una formula de R0

El cociente entre la tasa de infección y la tasa de retirada: R0 = a /b = a τ

En la tabla siguiente se muestral los valores de enfermedades conocidas

Enfermedad Transmision R0
Sarampion Aérea 12-18
Varicela Aérea 10-12
COVID19 Gotículas respiratorias 1.5-5,7
Tosferina Gotículas respiratorias 5,5
Rubeola Gotículas respiratorias 5-7
Paperas Gotículas respiratorias 4-7
Viruela Gotículas respiratorias 3,5-6
SARS Gotículas respiratorias 2-5
VIH Contacto sexual 2-5
Difteria Saliva 1,7-4,3
Ebola Contacto fluidos corporales 1,5-2,5
Influenza (pandemia 2018) Gotículas respiratorias 1,4-2,8

¿Cuándo surge la epidemia?

Cuando R0>1

Evolución y pico de la epidemia.

Conforme avanza la epidemia, disminuye la población de susceptibles (S0) y el número reproductivo efectivo, R = R0 S/N, se hace cada vez menor hasta que se alcanza un máximo en la población de infectados.

Este es el pico de la curva, y ocurre cuando S/N=1/R0

Interpretacion de R0

interpretar

 

Según se ha explicado, el número de nuevos contagios es proporcional a dos cantidades:

  • El número de personas infecciosas
  • El número de personas restantes de ser contagiadas.

Una epidemia se alimenta de las personas sanas (no vacunadas ni inmunizadas), que seria el combustible.

Y el motor de la epidemia son las personas infecciosas activas y la cantidad de contactos que realizan.

Por lo tanto para reducir el R0, controlar la epidemia, es posible actuar sobre 3 parámetros.

  • Disminución del periodo de infección. Por ejemplo rastreo de infectados
  • Disminuir tasa de infección. Por ejemplo a través de confinamiento
  • Reducción de personas subsceptibles. Por ejemplo vacuanacion.

 

Epidemia y endemia

  • Endemia es una enfermedad infecciosa que aparecen en un país o región concreta y en un determinado momento. Son las enfermedades típicas de una zona y están presentes de manera permanente durante años. La varicela es una endemia, pues se registran casos en muchos países todos los años. O la malaria, que en países como África es una infección endémica y causa la muerte de cientos de miles de personas al año.
  • Epidemia es una enfermedad que se extiende rapidamente durante un periodo con una disminución posterior. La gripe, por ejemplo, en otoño e invierno aumentan los contagios llegando al máximo de infecciones, disminuyendo en primavera y en verano.

Relacionandolo con R0. Si en un grafico de R0 permanece estable en el tiempo con valores superiores a 0,3, es una endemia. Si no es estable en el tiempo, adquiriendo un máximo y luego tendiendo a 0, sería una epidemia.

 

endemia

 

 

 

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